Овал это линия или нет


Разница между овалом и эллипсом

Простейшие математические термины могут вызвать настоящую головную боль у человека, далёкого от точных наук. Такие определения, как овал и эллипс, путают не только школьники, но и достаточно взрослые люди. Попробуем наметить отличия между данными понятиями, используя простые и доступные выражения, избегая математических терминов.

Содержание статьи

Овал – это замкнутая вытянутая геометрическая фигура, обладающая правильной формой и особыми свойствами. Вписанная в окружность, она обладает как минимум 4 точками экстремума, то есть вершинами. Если разделить овал прямой линией по двум противоположным вершинам, то два сегмента, полученные в результате данного действия, будут абсолютно идентичными. Эллипс – это замкнутая плоская кривая, частный случай овала, у которого имеется 4 вершины в точках экстремума. Центральная ось, проведённая по двум противоположным точкам экстремума, содержит две точки фокуса, равноудалённые от вершин. Сумма расстояний от фокусов до любой точки на кривой эллипса – постоянная величина, которая равна длине центральной оси.

Эллипс к содержанию ↑

Сравнение

Таким образом, ключевое отличие между указанными понятиями на бытовом уровне улавливается через их определения. Вариантов построения овала – множество, оси, проведённые из точек их вершин, могут иметь различное соотношение. Если же мы говорим про эллипс, то здесь действуют особые условия его построения. На большей оси есть 2 фокуса, равноудалённые от вершин.

Сумма расстояний от фокусов до любой точки на кривой всегда одинаково и равно длине большой оси. Это свойство используют строители и дизайнеры для проецирования фигур на местности. Если же расстояние от фокусов будет одинаковым, но больше или меньше длины большой оси, то мы говорим об овале.

к содержанию ↑

Выводы TheDifference.ru

  1. Объём. Овал – более широкое понятие, в объём которого входит эллипс.
  2. Свойства. У эллипса сумма расстояний от двух фокусов, лежащих на большой оси, до точки на кривой, является одинаковым и равно длине центральной оси.

thedifference.ru

Кривые линии

Кривая линия определяется множеством составляющих ее точек. Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоскости, и пространственной, если её точки не принадлежат одной плоскости. Плоские кривые делят на циркульные и лекальные. Циркульной (коробовой) называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и др.

Овал - циркульная кривая, которой можно заменить эллипс.

Упражнение 18. На рисунке справа представлен один из способов построения овала. Подобный овал заменяет эллипс, в который преобразуется заданная окружность (радиусом R) в прямоугольной изометрии. Обвести овал с помощью циркуля толстой линией.

Лекальные кривые – это кривые с изменяющейся, по определённому закону, кривизной.

Они строятся по точкам с помощью чертёжных инструментов и обводятся по лекалу. Кривая имеет порядок уравнения, которое его описывает (эллипс, парабола, гипербола - кривые второго порядка). Порядок кривой на чертеже определяется количеством точек пересечения с прямой линией.

Эллипс — это замкнутая кривая, для которой сумма расстоя­ний от любой её точки М до двух точек и, называемых фоку­сами— есть величина постоянная, равная большой оси эллипса 2а.

Определение Построение эллипса Построение нормали и касательной

Упражнение 19.

а) Построить эллипс. Большая полуось равна a, малая - b, число делений окружности для построения промежуточных точек эллипса — 12.

б) В правой верхней четверти эллипса задать произвольную точку К и построить к ней касательную прямую t.

фокусов эллипса в произвольной точке М

Упражнение 20.

Построить циклоиду. Циклоида — траектория точки окруж­ности, катящейся без скольжения по прямой линии. Диаметр окружности — D, число точек её деления — 12.

Упражнение 21. Самостоятельно изучить построение синусоиды, параболы, эвольвенты, спирали Архимеда [17, с. 51-72].

Винтовая линия

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) – пространственная кривая, которая образуется в результате сложного равномерного движения точки – вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль этой оси.

Разверткой цилиндрической винтовой линии является прямая.

Угол  называется углом подъема винтовой линии.

На рисунке представлен чертеж правой гелисы. Её фронтальная проекция выглядит синусоидой.

Графическая работа № 3 «Кулачок»

На формате А3 построить профиль кулачка и обвести сплошной толстой основной линией. Отметить буквами и (или) цифрами все точки сопряжений. Линии вспомогательных построений, а также осевые, выносные и размерные линии должны быть в 2-3 раза тоньше сплошной толстой основной линии. Вспомогательные построения сохранить на готовом чертеже. Вместо буквенных обозначений размеров проставить их численные значения шрифтом № 5. Варианты задания и рекомендации по выполнению − см. [14], образец выполнения − ниже.

studfiles.net

Чем отличается овал от эллипса

Простейшие математические термины могут вызвать настоящую головную боль у человека, далёкого от точных наук. Такие определения, как овал и эллипс, путают не только школьники, но и достаточно взрослые люди. Попробуем наметить отличия между данными понятиями, используя простые и доступные выражения, избегая математических терминов.

Что такое овал и эллипс

Овал – это замкнутая вытянутая геометрическая фигура, обладающая правильной формой и особыми свойствами. Вписанная в окружность, она обладает как минимум 4 точками экстремума, то есть вершинами. Если разделить овал прямой линией по двум противоположным вершинам, то два сегмента, полученные в результате данного действия, будут абсолютно идентичными. Эллипс – это замкнутая плоская кривая, частный случай овала, у которого имеется 4 вершины в точках экстремума. Центральная ось, проведённая по двум противоположным точкам экстремума, содержит две точки фокуса, равноудалённые от вершин. Сумма расстояний от фокусов до любой точки на кривой эллипса – постоянная величина, которая равна длине центральной оси. Эллипс

Разница между овалом и эллипсом

Таким образом, ключевое отличие между указанными понятиями на бытовом уровне улавливается через их определения. Вариантов построения овала – множество, оси, проведённые из точек их вершин, могут иметь различное соотношение. Если же мы говорим про эллипс, то здесь действуют особые условия его построения. На большей оси есть 2 фокуса, равноудалённые от вершин. Сумма расстояний от фокусов до любой точки на кривой всегда одинаково и равно длине большой оси. Это свойство используют строители и дизайнеры для проецирования фигур на местности. Если же расстояние от фокусов будет одинаковым, но больше или меньше длины большой оси, то мы говорим об овале.

TheDifference.ru определил, что отличие овала от эллипса заключается в следующем:

Объём. Овал – более широкое понятие, в объём которого входит эллипс. Свойства. У эллипса сумма расстояний от двух фокусов, лежащих на большой оси, до точки на кривой, является одинаковым и равно длине центральной оси.

altaiinter.org

2.2. КРИВЫЕ ЛИНИИ

    Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Кривую линию называют плоской, если все точки кривой лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости.

2.2.1. Плоские кривые

   Все множество плоских кривых можно разделить на циркульные и лекальные.

   Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т.д.

   Кроме окружности в практике выполнения чертежей встречается четырехцентровый овал, состоящий из дуг четырех окружностей. Рассмотрим построение овала по двум заданным осям АВ и CD (рис.2.7). На продолжении малой оси отметим точку 1 ([O1] = [OА]) и на отрезке АС дугой радиуса С1 фиксируем точку 2. Через середину отрезка A2 (точка 3) проводим перпендикуляр и находим центры O1 малой окружности радиса r и O2 большой окружности радиуса R. Точку сопряжения (точку 4) находим на пересечении малой окружности с отрезком O2O1. Центры O3 и O4 симметричны центрам O1 и O2 соответственно.

Рис. 2.7.

   Лекальной называют кривую, которую нельзя построить с помощью циркуля. Ее строят по точкам с помощью специального инструмента, называемого лекалом. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда и др.    Лекальные кривые можно разделить на закономерные и незакономерные.    Закономерными называют кривые, которые можно задать алгебраическим выражением. Незакономерные кривые нельзя задать алгебраическим выражением.    Среди закономерных кривых наибольший интерес для инженерной графики представляют кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола, с помощью которых образуются поверхности, ограничивающие технические детали.

   Эллипс - кривая второго порядка, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса.

Рис. 2.8.

   Один из вариантов построения эллипса по большой оси АВ и двум фокусам F1 и F2 приведен на рис.2.8. На большой оси эллипса откладываем произвольный отрезок АК, но больший отрезка AF1. Радиусом r1 = АК проводим окружности с центрами F1 и F2. Затем радиусом r2 = ВК проводим окружности, также с центрами F1 и F2. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения больших и малых окружностей принадлежат эллипсу, так как они удовлетворяют определению эллипса.

   Аналогично строим необходимое число точек. Точки, принадлежащие малой оси эллипса, находим с помощью окружности радиуса R = ОА.

Рис. 2.9.

   Другой вариант построения эллипса по двум осям разобран на рис.2.9. При построении проводим окружности радиусами r и R из одного центра О и произвольную секущую ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводим прямые, параллельные осям эллипса. На их пересечении отмечаем точку М эллипса. Остальные точки строим аналогично.

   Парабола - кривая второго порядка, расстояние от любой точки которой до фокуса равно расстоянию от этой точки до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Рис. 2.10.

   На рис.2.10 приведен пример построения параболы по директрисе 1 и фокусу F. Вершина параболы (точка А) находится на середине отрезка OF. Далее от точки О вдоль оси параболы откладываем произвольный отрезок ОК, который должен быть больше ОА. Через точку К проводим прямую а, перпендикулярную оси параболы. Из фокуса радиусом r = ОК строим окружность. Точки 1 и 2 пересечения окружности и прямой а принадлежат параболе. Аналогично строим необходимое количество точек.

   Гипербола - кривая второго порядка, разность расстояний от любой точки которой до двух фокусов есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы. Вдоль действительной оси расположены ветви гиперболы.

Рис. 2.11.

   Гиперболу по величине действительной оси и двум фокусам строим в следующей последовательности (рис.2.11). На оси гиперболы откладываем произвольный отрезок АК. Проводим две окружности с центрами в F1 и F2 радиусом r1 = АК и две окружности радиусом r2 = ВК. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения окружностей принадлежат гиперболе.

   Гипербола - кривая, имеющая асимптоты, которые проходят через точку О и точки 5 и 6. Точки 5 и 6 находим на пересечении прямых, проведенных через вершины гиперболы перпендикулярно к оси, и окружности с центром О, проведенной через фокусы.

2.2.2. Пространственные кривые

   Среди множества пространственных кривых наибольший интерес для инженерной графики представляют цилиндрическая и коническая винтовые линии.

   Цилиндрическая винтовая линия

Рис. 2.12.

   Пусть точка А (рис.2.12) равномерно движется по прямой 1, прямая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси i, ей параллельной. При вращении прямая 1 образует цилиндрическую поверхность, а точка А опишет пространственную кривую, которую называют цилиндрической винтовой линией или гелисой (геликой). Расстояние от точки А до оси i называют радиусом винтовой линии, а расстояние между точками А1 и АVIII, лежащими на одной прямой - шагом винтовой линии.

Рис. 2.13.

   Построим комплексный чертеж винтовой линии по ее радиусу R и шагу р (рис.2.13). Примем ось винтовой линии i, расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П1. Все точки винтовой линии отстоят от оси на одинаковом расстоянии, поэтому горизонтальной проекцией этой линии будет окружность радиуса R с центром на оси L. Выберем начальную точку винтовой линии - точку 1. Разделим окружность на 12 равных частей и примем полученные точки за горизонтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии. По условию задачи шаг винтовой линии равен р, следовательно, при переходе точки 1 в положение 2 она поднимется на высоту, равную 1/12 р, при переходе в положение 3 - на высоту 2/12 р и т.д. Поделив шаг на 12 частей, построим фронтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии.    Совокупность этих точек даст фронтальную проекцию винтовой линии - синусоиду.    Винтовая линия может быть правого или левого хода. Если точка, перемещаясь по винтовой линии вращается по часовой стрелке и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - правая. Если вращается против часовой стрелки и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - левая. На рис.2.13 изображена правая винтовая линия.

   Коническая винтовая линия

   Коническая винтовая линия- пространственная кривая, образованная равномерным движением точки по прямой, которая равномерно вращается вокруг оси и пересекает ее.

Рис. 2.14.

   Для построения конической винтовой линии (рис.2.14) изобразим некоторое число положений прямой, равномерно отстоящих друг от друга (в данном случае 12). Положение точки, движущейся вдоль прямой, будем фиксировать так, чтобы движение вдоль прямой было пропорционально угловому перемещению вокруг оси. Горизонтальной проекцией конической винтовой линии будет спираль Архимеда. Фронтальной проекцией - синусоида с затухающей амплитудой. Получили левую винтовую линию.

Û Вернуться к оглавлению или Ü Перейти к следующему разделу

graphics.distant.ru

Лекция №5

кривые линии

общие определения и понятия

Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми.

Кривая линия – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной.

В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущейся точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством, и т.д.

Способы задания кривой линии

  • аналитический – кривая задана математическим уравнением;

  • графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;

  • табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Классификация кривых линий

Кривые линии могут быть закономерными, описанными уравнением, и незакономерными.

Закономерные кривые линии делятся на алгебраические, определяемые алгебраическими уравнениями (эллипс, парабола, гипербола и др.), и трансцендентные, определяемые трансцендентными уравнениями (синусоида, циклоида, спираль Архимеда и др.).

Важной характеристикой алгебраической кривой является ее порядок (трансцендентные кривые порядка не имеют). С алгебраической точки зрения порядок кривой линии равен степени ее уравнения, с геометрической - наибольшему числу точек пересечения кривой с прямой линией для плоских кривых и с произвольной плоскостью для пространственных.

Например, эллипс - кривая второго порядка, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 = 1 второй степени, пересекается с прямой максимум в двух точках. Прямую линию, имеющую уравнение первой степени ax + by + c = 0 (с произвольной прямой пересекается в одной точке), можно рассматривать как линию первого порядка. Кривыми второго порядка являются также окружность, парабола, гипербола.

Примерами кривых третьего порядка могут служить строфоида, Декартов лист, циссоида; четвертого - лемниската Бернулли, кардиоида, улитка Паскаля.

Начертательная геометрия изучает кривые линии и различные операции с ними по их проекциям на комплексном чертеже. Построение проекций кривой линии сводится к построению проекций ряда ее точек. В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями. Кривая линия определяется двумя своими проекциями.

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные – пространственными.

Плоские кривые линии

 алгебраическая кривая 2-го порядка, прямая пересекает ее не более чем в двух точках.

Парабола

Гипербола

Эллипс

Синусоида – трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки – поступательного и возвратно-поступательного во взаимно перпендикулярном направлении.

Кривые третьего и четвертого порядка

Все прямые и кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

Кривые третьего порядка

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х3+а1у3+а2х2у+а3ху2+а4х2+а5у2+а6ху+а7х+а8у+а9=0.

Уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 — 3аху = 0.

  1. Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид)

кривые четвертого порядка

  1. Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид)

Кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2ах)2 = 4a(x2 + y2); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

  1. Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами)

Кривая, имеющая форму восьмёрки, уравнение в прямоугольных координатах:(x2 + y2)2 — 2a2 (x2 — y2) =0,

Уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2Rx)2 — а2(х2 + y2) = 0,

Кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраическая К. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из m лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

studfiles.net


Смотрите также